Тема 14

Формула Тейлора

Мета заняття :вивести формулу Тейлора представлення функції у вигляді многочлена . Розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: формулу Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена.

Студенти повинні вміти: знаходити похідні вищих порядків функцій; користуватися формулою Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена; записувати розкладання елементарних функцій за формулою Тейлора.

Основні питання теми

1.Формула Тейлора;

2.Формула Маклорена;

3.Приклади

Завдання для самоперевірки

1.За правилом Лопіталя обчислити границі

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

2.Записати формулу Тейлора для наступних функцій

1. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

2. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

3. Розкласти многочлен за степенями двочлена .

4. Функцію розкласти за степенями х, використовуючи формулу Тейлора.

5. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .

6. Записати формулу Маклорена п-го порядку для функції .

7. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .

8. Записати формулу Маклорена 2п-го порядку для функції .

9. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .

10. Записати формулу Маклорена 2п-го порядку для функції .

11. Записати формулу Тейлора 3-го порядку для функції при . Побудувати графіки цієї функції і її много-
члена 3-го порядку.

12. Записати формулу Тейлора 2-го порядку для функції при і побудувати графіки цієї функції і її многочлена 2-го порядку.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор. 238 – 245.

Лекція „Формула Тейлора”

Нехай функція f(x) має п похідних у точці х0.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х0.

Теорема. Нехай функція f(x) має в e-околі точки х0 (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х0, для якої справджується рівність:



(1)

де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.

Формула (1) називається формулою Тейлора.

Беручи у формулі (1) х0 = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.

Застосування формули Тейлора
в економічних задачах

1. Рівність застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад, розглянемо таку задачу.

Задача. Припустимо, що для чисел відомо середнє арифметичне

і середнє квадратичне відхилення:

.

Як визначити середнє арифметичне виду

,

якщо числа х1, х2, …, хn невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать?

· Значення можна, очевидно, знайти лише наближено. При цьому похідна буде настільки малою, наскільки малим буде максимальне значення на відрізку, який містить х1, х2, …, хn.

Замінимо функцію f(x) на многочлен Тейлора другого порядку в точці а:

.

Тоді

Оскільки

,

маємо:

. ·

Приклад. Для додатних чисел х1, х2, …, хn відоме середнє арифметичне а і середнє квадратичне відхилення δ. Знайти наближено середнє геометричне .

· Середнє геометричне можна подати у вигляді:

.

Використовуючи формулу (7) для функції , одержимо

.

Отже, середнє геометричне дорівнює

.

Приклад. Нехай рі — вартість споживчого кошика на 1 січня і-го року, — індекс споживчих цін за цей рік. Відомо, що середнє арифметичне чисел k1, k2, …, kn дорівнює 1, а середнє квадратичне відхилення δ = 1. Визначити відносну зміну споживчих цін з 1 січня і-го року по 1 січня (і+10)го року.

· Згідно з формулою (8) знаходимо

.

Далі маємо:

.

Отже, ціни за 10 років зросли приблизно на 5%. ·

Розклад основних елементарних функцій
за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х0 = 0. Для цього обчислюємо:

Далі за формулою Тейлора (1) маємо:

Зокрема, при х = 1

У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при :

.

Можна записати: .

Цей вираз називають рядами і позначають так:

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х0 = 0. Насамперед знайдемо:

, ;

, ;

, ;

, ;

;

..................................................................................

За формулою Тейлора (1) дістанемо (мал. 1)

.

мал. 1

3. Розклад за формулою Тейлора функції в т. х0 = 0.

Насамперед обчислимо:

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:

Приклад. Знайдемо значення з точністю до 10–10.

● Оскільки , то

.

Щоб досягти заданої точності, візьмемо

Розклад за формулою Тейлора
деяких часто застосовуваних функцій

1. Розклад функції , — довільне число.

Насамперед

, ;
, ;
, ;
, .

....................................................................................

За формулою Тейлора отримаємо розклад

Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо — натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.

.

2. Розклад функції

, ;
, ;
;
, ;
, ;
… … … … … … … … … … … …

За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад

або

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.5, стор. 238 – 245.


4574293128494050.html
4574388517209272.html
    PR.RU™